可交换的线性变换#

这篇文章讨论可交换的线性变换, 即对于线性变换 \(A\), \(B\), 有 \(AB = BA\).

引理#

对于多项式 \(f\), \(f(A)\) 与 \(B\) 可交换的充要条件是 \(A\), \(B\) 可交换.

充要条件#

复数域上线性变换 \(A\), \(B\) 可交换的充要条件是:

\(A\) 的每个广义特征空间 \(E_{\lambda}\) 都是 \(B\) 的不变子空间.

其中广义特征空间 \(E_{\lambda} = \{\mathbf{v} ~ | ~ (A - \lambda I)^m \; \mathbf{v} = \mathbf{0}, m \in \mathbb{N}_+\}\). 线性空间 \(V\) 总是可以分解为其上某一线性变换的广义特征空间的直和.

证明:
充分性: 任取 \(A\) 在重数 \(m\) 的广义特征空间 \(E_{\lambda}\), \(\forall \mathbf{v} \in E_{\lambda}; B \mathbf{v} \in E_{\lambda}\). 于是 \(B (A - \lambda I)^m \mathbf{v} = B \; \mathbf{0} = \mathbf{0}\), \((A - \lambda I)^m B \mathbf{v} = (A - \lambda I)^m (B \mathbf{v}) = \mathbf{0}\). 注意到 \((A - \lambda I)^m\) 是关于 \(A\) 的多项式, 由此可得 \(E_{\lambda}\) 上 \(A\) 与 \(B\) 可交换.

将复数域上向量空间 \(V\) 分解为广义特征空间的直和 \(V = E_{\lambda_1} \oplus E_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus E_{\lambda_r}\), 其中 \(E_{\lambda_i}\) 是对应于特征值 \(\lambda_i\) 的广义特征空间. 任取 \(\mathbf{u} \in V\), \(\mathbf{u} = \sum_i k_i \mathbf{v}_i\), 其中 \(\mathbf{v}_i \in E_{\lambda_i}\). 对于任意 \(\mathbf{v}_i\) 都有 \(A\), \(B\) 可交换, 故对于其线性组合 \(\mathbf{u}\) 也可交换.

综上, \(A\), \(B\) 在 \(V\) 上可交换.

必要性: 若 \(A\), \(B\) 可交换, 则对任意 \(\mathbf{v} \in E_{\lambda}\), 都有 \((A - \lambda I)^m (B \mathbf{v}) = B ((A - \lambda I)^m \mathbf{v}) = B \; \mathbf{0} = \mathbf{0}\). 故 \(B \mathbf{v} \in E_{\lambda}\). 即 \(E_{\lambda}\) 是 \(B\) 的不变子空间.