密度流体的动态模拟#

我们将不可压缩流体的模拟分为两类, 一类聚焦于流体本身, 另一类则聚焦依托于流场的标量场. 前者称为体积流体, 如水与空气二相的模拟, 我们更关心流体本身的运动; 后者称为密度流体, 如充斥于密闭容器中的浊液的模拟, 我们关注的是溶质的物质的量密度这一标量. 需要注意的是这两个词仅为本篇文章的约定, 而非正式的学术用语.

本文讲述了不可压缩密度流体的运动学模拟. 纵览符合这一条件的流场, 如附加温度场, 容质的密度场等, 其标量场都耦合于流体的速度场. 这是指标量会被流体输运, 例如温度的对流; 标量场同时可以反过来影响速度场, 例如渗透压导致的流体运动, 但我们一般不认为它会破坏流体的不可压缩性, 否则这将导致被求解方程的形式变得极端复杂.

写出不可压缩流体的纳维 - 斯托克斯方程:

$$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$$

$$\frac{\mathrm{D} \mathbf{u}}{\mathrm{D} t} = -\nabla \frac{p}{\rho} + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{a}$$

前者是质量守恒定律对应的连续性方程在不可压缩, 即 \(\rho \equiv \mathrm{const}\) 时的推论; 后者是牛顿第二定律. 其中 \(\nu\) 是运动粘度, \(\nu := \mu/\rho\), \(\mu\) 是动力粘度. 流体力学中, 我们一般用 \(\mathbf{u}\) 代表速度.

后式中出现的随质导数, 或称物质导数 \(\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D} t} := \frac{\partial}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\). 这一式中前者表示欧拉导数; 后者表示拉格朗日导数, 即由于流体的运动带来的变化, 这个效应称为移流. 将其拆开可以写为